В 1959 г. окончил физический факультет Томского государственного университета по специальности «физическая оптика и спектроскопия». По распределению был направлен в НИИ-4 Министерства обороны СССР (г. Болшево Московской области). В 1963 г. перешел во Всероссийский НИИ органического синтеза, где в 1980 г. создал Лабораторию молекулярной спектроскопии и заведовал ею вплоть до 2001 г. С 2001 г. М.Е. Эляшберг – эксперт по молекулярной спектроскопии Московского отделения научной фирмы Advanced Chemistry Development (ACD), штаб-квартира которой находится в Торонто, Канада. С 1965 г. началось его тесное сотрудничество с группой Л.А. Грибова, к школе которого он и принадлежит. В 1970 г. защитил под руководством Л.А. Грибова диссертацию на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук на тему «О возможности применения математической логики в молекулярной спектроскопии». Это была первая в мировой литературе работа по данному вопросу.